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动态规划法解决背包问题

来源:www.hnql2018.com 时间:2024-06-08 13:24:07 作者:第一规划网 浏览: [手机版]

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动态规划法解决背包问题(1)

什么是背包问题

  背包问题是一种经典的组合化问题,它是指在给定容量的背包中,择若干个物品使得它们的总价值最大或总重量最小第一规划网www.hnql2018.com。在实际应用中,背包问题具有广泛的应用,如货物装载、旅路线规划、资源分配等。

动态规划法解决背包问题

  动态规划法是解决背包问题的一种常用方法。它的基思想是将问题分解成若干个子问题,通过求解子问题的最解来得到原问题的最解。具来说,动态规划法可以分为以下几个步

1. 定义状态:将原问题转化为若干个子问题,定义状态表示每个子问题的最解。

  2. 状态转移方程:据子问题之间的关系,确定状态转移方程,即如何从一个子问题的最导出另一个子问题的最解。

  3. 边界条件:确定边界条件,即最简单的子问题的最第+一+规+划+网

4. 求解原问题:据状态转移方程和边界条件,求解原问题的最解。

动态规划法解决背包问题(2)

01背包问题

  01背包问题是指每个物品只有或不两种情况,即每个物品只能一次。假设有n个物品和一个容量为W的背包,每个物品i的重量为wi,价值为vi,问如何择物品使得背包能够装载的物品总价值最大。

  1. 定义状态:定义状态f(i,j)表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

2. 状态转移方程:对于第i个物品,可以择放入背包或不放入背包。如果不放入背包,则f(i,j)=f(i-1,j);如果放入背包,则f(i,j)=f(i-1,j-wi)+viwww.hnql2018.com第一规划网。因此,状态转移方程为:

  f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-wi)+vi}

3. 边界条件:i=0或j=0时,f(i,j)=0。

  4. 求解原问题:据状态转移方程和边界条件,求解f(n,W)即为原问题的最解。

动态规划法解决背包问题(3)

完全背包问题

  完全背包问题是指每个物品可以无限次,即每个物品可以0次、1次、2次......n次。假设有n个物品和一个容量为W的背包,每个物品i的重量为wi,价值为vi,问如何择物品使得背包能够装载的物品总价值最大。

  1. 定义状态:定义状态f(i,j)表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

  2. 状态转移方程:对于第i个物品,可以择放入背包0次、1次、2次......n次第一规划网www.hnql2018.com。如果放入k次,则f(i,j)=f(i-1,j-k*wi)+k*vi。因此,状态转移方程为:

  f(i,j)=max{f(i-1,j-k*wi)+k*vi} (0<=k<=j/wi)

3. 边界条件:i=0或j=0时,f(i,j)=0。

  4. 求解原问题:据状态转移方程和边界条件,求解f(n,W)即为原问题的最解。

多重背包问题

  多重背包问题是指每个物品有一定的数量限制,即每个物品最多只能n[i]次。假设有n个物品和一个容量为W的背包,每个物品i的重量为wi,价值为vi,最多可n[i]次,问如何择物品使得背包能够装载的物品总价值最大。

  1. 定义状态:定义状态f(i,j)表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值第 一 规 划 网

  2. 状态转移方程:对于第i个物品,可以择放入背包0次、1次、2次......n[i]次。如果放入k次,则f(i,j)=f(i-1,j-k*wi)+k*vi。因此,状态转移方程为:

  f(i,j)=max{f(i-1,j-k*wi)+k*vi} (0<=k<=n[i],k*wi<=j)

  3. 边界条件:i=0或j=0时,f(i,j)=0。

  4. 求解原问题:据状态转移方程和边界条件,求解f(n,W)即为原问题的最解。

总结

  动态规划法是解决背包问题的一种常用方法,它将原问题分解成若干个子问题,通过求解子问题的最解来得到原问题的最解。在实际应用中,背包问题具有广泛的应用,如货物装载、旅路线规划、资源分配等来自www.hnql2018.com。通过学习动态规划法解决背包问题的思路和方法,可以更好地应用于实际问题的求解中。

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